Vektorit, suorat ja tasot

Tässä luvussa käsitellään vektorien laskutoimituksia, pistetuloa ja projektiota sekä suoran ja tason parametriesityksiä. Lisäksi opitaan laskemaan pisteen etäisyys suorasta.

Oppimistavoitteet: osaat laskea vektorien pituuksia ja pistetuloja, tunnistaa kohtisuoruuden, muodostaa suoran ja tason yhtälöitä sekä laskea pisteen etäisyyden suorasta.

Vektorit

Vektorilla on suunta ja pituus. Tason vektori voidaan esittää koordinaattiparina ja avaruuden vektori kolmikona:

\[\mathbf a=(a_1,a_2)=a_1\mathbf i+a_2\mathbf j,\qquad \mathbf a=(a_1,a_2,a_3)=a_1\mathbf i+a_2\mathbf j+a_3\mathbf k.\]

Nollavektori \(\mathbf0\) on pituudeltaan nolla eikä sillä ole määrättyä suuntaa. Vektorin vastavektori on \(-\mathbf a\): se on yhtä pitkä mutta vastakkaissuuntainen kuin \(\mathbf a\).

Kaksi nollasta poikkeavaa vektoria ovat yhdensuuntaiset, jos toinen saadaan kertomalla toinen reaaliluvulla: \(\mathbf b=t\mathbf a\). Kun \(t>0\), vektorit ovat samansuuntaiset; kun \(t<0\), ne ovat vastakkaissuuntaiset.

Vektorin pituus ja yksikkövektori

Pythagoraan lauseesta saadaan koordinaattivektorin pituus:

\[\|\mathbf a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\quad\text{tasossa},\qquad \|\mathbf a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\quad\text{avaruudessa}.\]

Vektorin \(\mathbf a\ne\mathbf0\) suuntainen yksikkövektori saadaan jakamalla vektori sen pituudella:

\[\mathbf a_0=\frac{\mathbf a}{\|\mathbf a\|}.\]

Vektorien summa, erotus ja skalaarilla kertominen

Vektoreita lasketaan komponenteittain. Jos \(\mathbf a=(a_1,a_2)\) ja \(\mathbf b=(b_1,b_2)\), niin

\[\mathbf a+\mathbf b=(a_1+b_1,a_2+b_2),\qquad \mathbf a-\mathbf b=(a_1-b_1,a_2-b_2).\]

Kun vektori kerrotaan luvulla \(t\), sen pituus kerrotaan luvun itseisarvolla: \(\|t\mathbf a\|=|t|\|\mathbf a\|\). Positiivinen \(t\) säilyttää suunnan ja negatiivinen kääntää suunnan vastakkaiseksi.

Esimerkki 1

Laske vektorien \(\mathbf a=(2,1)\) ja \(\mathbf b=(3,-2)\) summa ja erotus.

\[\mathbf a+\mathbf b=(2+3,1-2)=(5,-1),\]

\[\mathbf a-\mathbf b=(2-3,1-(-2))=(-1,3).\]

Pistetulo ja projektio

Vektorien \(\mathbf a=(a_1,a_2,a_3)\) ja \(\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)\) pistetulo on reaaliluku

\[\mathbf a\cdot\mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\]

Tasossa käytetään vastaavasti kahta ensimmäistä komponenttia. Pistetulon geometrinen tulkinta on

\[\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|\cos\theta,\]

missä \(\theta\) on vektorien välinen kulma. Nollasta poikkeavat vektorit ovat kohtisuorassa täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla.

Esimerkki 2

Laske vektorien \(\mathbf a=(-2,1)\) ja \(\mathbf b=(1,2)\) pistetulo.

\[\mathbf a\cdot\mathbf b=(-2)\cdot1+1\cdot2=0.\]

Pistetulo on nolla, joten vektorit ovat kohtisuorassa.

Projektio

Vektorin \(\mathbf a\) projektio vektorin \(\mathbf b\ne\mathbf0\) suuntaan on

\[\operatorname{proj}_{\mathbf b}(\mathbf a)= \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|^2}\,\mathbf b.\]

Skalaariprojektio eli \(\mathbf a\):n suunnattu komponentti \(\mathbf b\):n suuntaan on

\[\operatorname{comp}_{\mathbf b}(\mathbf a)= \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|}.\]

Skalaariprojektio voi olla negatiivinen, jos vektorit osoittavat toisiaan vastaan. Projektiojanan pituus on skalaariprojektion itseisarvo.

Tason ja avaruuden suora

Suoran yhtälö tasossa

Tason suora voidaan esittää muodossa \(y=kx+b\), missä \(k\) on kulmakerroin ja \(b\) on \(y\)-akselin leikkauskohta. Kahden suoran kulmakertoimille pätee kohtisuoruustilanteessa \(k_1k_2=-1\), jos kumpikaan suora ei ole pystysuora. Pystysuoran kulmakerroin ei ole määritelty.

Suoran kautta kulkevan pisteen \((x_0,y_0)\) ja kulmakertoimen avulla suoran pisteille \((x,y)\) pätee

\[y-y_0=k(x-x_0).\]

Suoran yleinen muoto on \(Ax+By+C=0\), missä \(A\) ja \(B\) eivät ole yhtä aikaa nollia. Tällöin \((A,B)\) on suoran normaalivektori eli suoraa vastaan kohtisuora vektori.

Suoran parametriesitys

Suora määräytyy pisteestä \(P_0=(x_0,y_0)\) ja nollasta poikkeavasta suuntavektorista \(\mathbf s=(s_x,s_y)\). Kaikki suoran pisteet saadaan, kun parametri \(t\) käy läpi reaaliluvut:

\[(x,y)=(x_0,y_0)+t(s_x,s_y),\qquad t\in\mathbb R.\]

Koordinaateittain \(x=x_0+ts_x\) ja \(y=y_0+ts_y\). Jos \(s_x\ne0\), kulmakerroin on \(k=s_y/s_x\). Jos \(s_x=0\), suora on pystysuora.

Avaruuden suora esitetään samalla tavalla, mutta pisteillä ja suuntavektoreilla on kolme koordinaattia:

\[(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(s_x,s_y,s_z),\qquad t\in\mathbb R.\]

Esimerkki 3

Muodosta pisteen \((1,-2)\) kautta kulkevan suoran parametriesitys, kun suuntavektori on \((3,4)\).

\[(x,y)=(1,-2)+t(3,4),\qquad t\in\mathbb R.\]

Siis \(x=1+3t\), \(y=-2+4t\). Suoran kulmakerroin on \(4/3\), ja sen yleinen yhtälö on \(4x-3y-10=0\).

Pisteen etäisyys suorasta

Pisteen \((x_0,y_0)\) etäisyys suorasta \(Ax+By+C=0\) on pisteen ja suoran lyhin etäisyys:

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\qquad (A,B)\ne(0,0).\]

Esimerkki 4

Laske origon etäisyys suorasta \(3x+4y-10=0\).

\[d=\frac{|3\cdot0+4\cdot0-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2.\]

Taso avaruudessa

Kolme pistettä määräävät täsmälleen yhden tason, jos ne eivät ole samalla suoralla. Tason voi esittää pisteen ja kahden erisuuntaisen, keskenään yhdensuuntaisuudesta riippumattoman suuntavektorin avulla.

Tason parametriesitys

Jos taso kulkee pisteen \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) kautta ja sen suuntavektorit ovat \(\mathbf u\) ja \(\mathbf v\), tason pisteet ovat

\[(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+s\mathbf u+t\mathbf v,\qquad s,t\in\mathbb R.\]

Vektorit \(\mathbf u\) ja \(\mathbf v\) eivät saa olla yhdensuuntaiset, sillä silloin ne eivät viritä koko tasoa.

Tason normaalimuoto ja koordinaattiyhtälö

Tason normaalivektori \(\mathbf n=(A,B,C)\) on kohtisuorassa tason suuntavektoreita vastaan. Jos taso kulkee pisteen \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) kautta, sen pisteille pätee

\[\mathbf n\cdot\big((x,y,z)-P_0\big)=0,\]

eli koordinaattimuodossa

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\]

Laventamalla saadaan tason koordinaattiyhtälö \(Ax+By+Cz+D=0\), missä \((A,B,C)\ne(0,0,0)\).

Esimerkki 5

Taso kulkee pisteen \((1,2,-1)\) kautta ja sen normaalivektori on \((2,-1,3)\). Muodosta tason yhtälö.

\[2(x-1)-(y-2)+3(z+1)=0,\]

josta saadaan

\[2x-y+3z+3=0.\]