Polynomit

Tässä luvussa harjoitellaan polynomien tunnistamista, yhteen- ja kertolaskua, muistikaavojen käyttöä, tekijöihin jakoa sekä rationaalilausekkeiden sieventämistä.

Oppimistavoitteet: osaat tunnistaa termin ja asteluvun, sieventää polynomeja, kertoa polynomeja, jakaa lausekkeita tekijöihin ja määrittää rationaalilausekkeen sallitut muuttujan arvot.

Polynomi

Polynomi on lauseke, joka muodostuu vakioista ja muuttujien epänegatiivisista kokonaislukupotensseista sekä niiden kertoimista. Polynomissa käytetään yhteen- ja vähennyslaskua ja kertolaskua. Muuttuja ei esiinny nimittäjässä eikä juuren sisällä.

Esimerkiksi \(2x^3-5x^2+8x-3\) ja \(7x^4-9\) ovat polynomeja. Myös useamman muuttujan polynomeja on olemassa, kuten \(5xy^2-3x+5y^3-3\).

Vakiopolynomin, kuten \(7\), asteluku on 0. Nollapolynomille astelukua ei määritellä, koska siinä ei ole korkeimman asteen nollasta poikkeavaa termiä.

Polynomin termit erotetaan toisistaan plus- ja miinusmerkeillä. Kunkin termin kerroin on lukutekijä, muuttujaosa sisältää muuttujat potensseineen, ja vakiotermi ei sisällä muuttujaa. Nollasta poikkeavan polynomin asteluku on sen korkeimman asteen termin aste. Useamman muuttujan termissä asteet lasketaan yhteen.

Esimerkki 1

Tarkastellaan polynomia

\[12x^5-4x^3+x^2+10x-50.\]

Asteluku on \(5\).
Kertoimet ovat \(12,-4,1,10\) ja \(-50\).
Muuttujaosat ovat \(x^5,x^3,x^2\) ja \(x\).
Muuttujalliset termit ovat \(12x^5,-4x^3,x^2\) ja \(10x\); vakiotermi on \(-50\).

Esimerkki 2

Laske polynomin \(3x^3+2x^2-4\) arvo, kun \(x=2\).

Sijoitetaan muuttujan paikalle luku \(2\) ja lasketaan potenssit ennen yhteen- ja vähennyslaskuja:

\[3\cdot2^3+2\cdot2^2-4=3\cdot8+2\cdot4-4=24+8-4=28.\]

Polynomien yhteen- ja kertolasku

Yhteen- ja vähennyslasku

Polynomeja laskettaessa yhteen yhdistetään samanmuotoiset termit eli termit, joissa on sama muuttujaosa. Vähennettäessä vähennettävän polynomin jokaisen termin merkki vaihtuu.

Esimerkki 3

Muodosta polynomien \(x^2+3x-6\) ja \(-4x^2+x-2\) summa ja erotus.

Summa:

\[\begin{aligned}(x^2+3x-6)+(-4x^2+x-2) &=x^2-4x^2+3x+x-6-2\\ &=-3x^2+4x-8.\end{aligned}\]

Erotus:

\[\begin{aligned}(x^2+3x-6)-(-4x^2+x-2) &=x^2+4x^2+3x-x-6+2\\ &=5x^2+2x-4.\end{aligned}\]

Polynomin kertominen luvulla tai monomilla

Kertolasku jaetaan polynomin jokaiselle termille osittelulain avulla:

\[2(x^2+x+3)=2x^2+2x+6,\]

\[2x(3x-4)=2x\cdot3x-2x\cdot4=6x^2-8x.\]

Kahden polynomin tulo

Kahden polynomin tulossa jokainen ensimmäisen polynomin termi kerrotaan jokaisella toisen polynomin termillä. Lopuksi yhdistetään samanmuotoiset termit.

\[\begin{aligned}(2x-5)(3x-4) &=2x\cdot3x+2x\cdot(-4)+(-5)\cdot3x+(-5)\cdot(-4)\\ &=6x^2-8x-15x+20\\ &=6x^2-23x+20.\end{aligned}\]

Polynomin potenssi voidaan laskea kertomalla polynomi itsellään. Esimerkiksi

\[(x-5)^2=(x-5)(x-5)=x^2-10x+25.\]

Tarkista merkit ja termit

Erotuksessa miinusmerkki vaikuttaa sulkeiden jokaiseen termiin: \(A-(B-C)=A-B+C\). Kahden polynomin tulossa jokainen termi kerrotaan jokaisella toisen polynomin termillä, minkä jälkeen yhdistetään samanmuotoiset termit.

Muistikaavat ja polynomin jakaminen tekijöihin

Muistikaavat ovat polynomien kertolaskun tuloksia. Niitä kannattaa harjoitella tunnistamaan molempiin suuntiin: tulomuodosta summamuotoon ja summamuodosta tekijät sisältävään tulomuotoon.

Summan neliö:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\]

Erotuksen neliö:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\]

Summan ja erotuksen tulo:

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2.\]

Esimerkki 4

Sievennä lausekkeet muistikaavojen avulla.

a) Summan ja erotuksen tulolla:

\[(3x+1)(3x-1)=(3x)^2-1^2=9x^2-1.\]

b) Erotuksen neliöllä:

\[(6n-2)^2=(6n)^2-2\cdot6n\cdot2+2^2=36n^2-24n+4.\]

Polynomin jakaminen tekijöihin

Tekijöihin jakaminen on kertolaskun purkamista toiseen suuntaan. Etsi ensin mahdollinen yhteinen tekijä ja tarkista sen jälkeen, sopiiko jäljelle jäävä lauseke johonkin muistikaavaan.

Esimerkki 5

Jaa polynomit tekijöihin.

a) Erotuksen neliö:

\[9x^2-6x+1=(3x)^2-2\cdot3x\cdot1+1^2=(3x-1)^2.\]

b) Summan neliö:

\[4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3+3^2=(2x+3)^2.\]

c) Otetaan ensin yhteinen tekijä ja käytetään sitten neliöiden erotusta:

\[2x^2-50=2(x^2-25)=2(x-5)(x+5).\]

d) Toisen asteen trinomi voidaan joskus jakaa tekijöihin etsimällä kaksi lukua, joiden tulo on vakiotermi ja summa \(x\):n kerroin:

\[x^2+5x+6=(x+2)(x+3),\]

sillä \(2\cdot3=6\) ja \(2+3=5\). Tarkistus kertomalla tekijät takaisin auki auttaa havaitsemaan virheet.

Tekijöihin jako ja yhtälön ratkaiseminen

Tekijöihin jaosta on hyötyä myös polynomiyhtälöiden ratkaisemisessa. Tulon nollasäännön mukaan tulon arvo on nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on nolla:

\[x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=3\text{ tai }x=-2.\]

Tarkista ratkaisut sijoittamalla ne alkuperäiseen yhtälöön. Jos jaat yhtälön muuttujan sisältävällä lausekkeella, selvitä ensin, voiko kyseinen tekijä olla nolla.

Rationaalilausekkeet

Rationaalilauseke on kahden polynomin osamäärä \(P(x)/Q(x)\), missä nimittäjäpolynomi \(Q(x)\) ei ole nollapolynomi. Lauseke on määritelty niillä muuttujan arvoilla, joilla nimittäjä ei ole nolla. Tämä rajoitus täytyy säilyttää myös silloin, kun lauseketta sievennetään.

Rationaalifunktio on funktio, joka määritellään rationaalilausekkeella. Esimerkiksi

\[f(x)=\frac{2x+4}{x^2-4}.\]

Nimittäjä ei saa olla nolla. Koska \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), funktio on määritelty, kun \(x\ne2\) ja \(x\ne-2\).

Esimerkki 6

Sievennä funktion lauseke ja ilmoita, millä arvoilla se on määritelty.

\[f(x)=\frac{2x+4}{x^2-4}.\]

Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin:

\[\frac{2x+4}{x^2-4}=\frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{2}{x-2}.\]

Alkuperäisessä lausekkeessa \(x\ne-2\) ja \(x\ne2\). Vaikka tekijä \(x+2\) supistui, alkuperäinen määrittelyehto säilyy: sievennetty muoto vastaa alkuperäistä vain, kun \(x\ne-2,2\).

Esimerkki 7

Sievennä lauseke ja ilmoita sen määrittelyehdot:

\[\frac{25-x^2}{x(x+5)}.\]

Nimittäjästä saadaan ehdot \(x\ne0\) ja \(x\ne-5\). Osoittajan neliöiden erotuksen avulla

\[\frac{25-x^2}{x(x+5)}=\frac{(5-x)(5+x)}{x(x+5)}=\frac{5-x}{x},\qquad x\ne0,-5.\]

Supistaminen poistaa tekijän, mutta ei muuta alkuperäisen lausekkeen määrittelyehtoja.

Esimerkki 8

Sievennä lauseke ja ilmoita määrittelyehdot:

\[\left(\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2a-1}\right)\left(1-\frac{1}{4a^2}\right).\]

Alkuperäiset nimittäjät eivät saa olla nollia, joten \(a\ne-1/2,1/2,0\). Lavennetaan ensimmäisen sulkeen murtoluvut yhteisnimisiksi ja käytetään toisessa sulkeessa neliöiden erotusta:

\[\begin{aligned} \left(\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2a-1}\right)\left(1-\frac{1}{4a^2}\right) &=\frac{4a}{(2a+1)(2a-1)}\cdot\frac{4a^2-1}{4a^2}\\ &=\frac{4a}{4a^2-1}\cdot\frac{4a^2-1}{4a^2}\\ &=\frac{1}{a}. \end{aligned}\]

Vastaus on \(1/a\), kun \(a\ne-1/2,0,1/2\). Kaikkien alkuperäisten nimittäjien rajoitukset jäävät voimaan.