Geometria ja trigonometria

Tässä luvussa kerrataan kolmion pinta-ala ja Pythagoraan lause, tutustutaan kulmien radiaanimittaan ja suorakulmaisen kolmion trigonometriaan sekä palautetaan mieleen ympyrän keskeiset ominaisuudet.

Oppimistavoitteet: osaat ratkaista suorakulmaisen kolmion sivuja ja kulmia, muuntaa asteita radiaaneiksi, käyttää ympyrän kehän ja pinta-alan kaavoja sekä muodostaa ympyrän yhtälön.

Kolmio

Suorakulmion pinta-ala saadaan kertomalla vierekkäisten sivujen pituudet. Kolmion pinta-ala on puolet sellaisen suorakulmion pinta-alasta, jolla on sama kanta \(b\) ja korkeus \(h\):

\[A=\frac{bh}{2}.\]

Korkeus on kannalle kohtisuora etäisyys vastakkaiseen kärkeen. Se voi sijaita myös kolmion ulkopuolella, jos kolmio on tylppäkulmainen.

Pythagoraan lause

Suorakulmainen kolmio sisältää yhden \(90^\circ\):n kulman. Suorakulmaa vastapäätä oleva pisin sivu on hypotenuusa; kaksi muuta sivua ovat kateetteja. Jos kateettien pituudet ovat \(a\) ja \(b\) ja hypotenuusan pituus \(c\), niin

\[a^2+b^2=c^2.\]

Esimerkki 1

Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on \(15{,}0\) cm ja toinen kateetti \(6{,}2\) cm. Laske toisen kateetin pituus.

Merkitään tuntematonta kateettia \(b\):llä:

\[\begin{aligned}(6{,}2\text{ cm})^2+b^2&=(15{,}0\text{ cm})^2,\\ b^2&=225{,}00\text{ cm}^2-38{,}44\text{ cm}^2,\\ b&=\sqrt{186{,}56\text{ cm}^2}\approx13{,}7\text{ cm}.\end{aligned}\]

Käytämme positiivista neliöjuurta, koska sivun pituus on positiivinen. Pyöristetty tulos on kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella \(13{,}7\) cm.

Kulmat ja radiaanit

Radiaanimitta määritellään ympyrän kaaren pituuden \(s\) ja säteen \(r\) suhteena:

\[\theta=\frac{s}{r}.\]

Koska pituuksien yksiköt supistuvat, kulma radiaaneina on yksikötön luku. Yksikkö rad voidaan lisätä selkeyden vuoksi. Kun kulma on radiaaneina, kaaren pituudelle pätee \(s=r\theta\).

Esimerkiksi jos säde on \(40{,}0\) mm ja kaaren pituus \(31{,}4\) mm, niin

\[\theta=\frac{31{,}4\text{ mm}}{40{,}0\text{ mm}}=0{,}785\text{ rad}.\]

Asteiden ja radiaanien muuntaminen

Oikokulma vastaa puolta ympyrän kehää. Siksi

\[180^\circ=\pi\text{ rad}.\]

Asteista radiaaneiksi muunnettaessa kerrotaan luvulla \(\pi/180^\circ\). Radiaaneista asteiksi muunnettaessa kerrotaan luvulla \(180^\circ/\pi\):

\[\theta_{\text{rad}}=\theta_{\text{aste}}\frac{\pi}{180^\circ},\qquad \theta_{\text{aste}}=\theta_{\text{rad}}\frac{180^\circ}{\pi}.\]

Esimerkiksi \(135^\circ=\frac{135}{180}\pi=\frac{3\pi}{4}\) rad ja \(\frac{7\pi}{10}\) rad vastaa kulmaa \(126^\circ\). Yksi radiaani on noin \(57{,}3^\circ\).

Esimerkki 2

Muunna kulmat.

• \(15^\circ=15\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}\) rad.
• \(1^\circ=\frac{\pi}{180}\) rad.
• \(\frac{\pi}{5}\) rad \(=\frac{180^\circ}{5}=36^\circ\).
• \(\frac{7\pi}{10}\) rad \(=\frac{7\cdot180^\circ}{10}=126^\circ\).

Suorakulmaisen kolmion trigonometria

Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman \(\alpha\) sini, kosini ja tangentti määritellään sivujen suhteina:

\[\sin\alpha=\frac{\text{vastainen kateetti}}{\text{hypotenuusa}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{viereinen kateetti}}{\text{hypotenuusa}},\qquad \tan\alpha=\frac{\text{vastainen kateetti}}{\text{viereinen kateetti}}.\]

Jos kulman \(\alpha\) vastainen kateetti on \(a\), viereinen kateetti \(b\) ja hypotenuusa \(c\), niin

\[\sin\alpha=\frac ac,\qquad \cos\alpha=\frac bc,\qquad \tan\alpha=\frac ab.\]

Kulma ratkaistaan käänteisillä trigonometrisilla funktioilla: esimerkiksi \(\alpha=\arcsin(a/c)\). Varmista laskimesta, että kulmayksikkönä on aste, jos vastaus pyydetään asteina.

Esimerkki 3

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusa on \(7\) ja toinen kateetti \(3\). Kulmaa \(\alpha\) vastapäätä on kateetti, jonka pituus on \(3\). Laske toinen kateetti sekä kulmat.

Pythagoraan lauseella toisen kateetin pituus on

\[b=\sqrt{7^2-3^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.\]

Sinin avulla kulma \(\alpha\) on

\[\alpha=\arcsin\left(\frac37\right)\approx25{,}4^\circ.\]

Kolmion terävien kulmien summa on \(90^\circ\), joten toinen kulma on

\[\beta=90^\circ-\alpha\approx64{,}6^\circ.\]

Tulos voidaan tarkistaa myös esimerkiksi laskemalla \(\cos\beta=3/7\).

Ympyrä

Ympyräviiva koostuu tason pisteistä, jotka ovat samalla etäisyydellä kiinteästä pisteestä. Kiinteä piste on keskipiste ja vakioetäisyys on säde. Ympyräksi kutsutaan usein ympyräviivan rajaamaa aluetta. Ympyrän kahden pisteen välinen jana on jänne; keskipisteen kautta kulkeva jänne on halkaisija.

Ympyrän kehän pituuden \(p\) suhde halkaisijaan \(d\) on vakio \(\pi\):

\[\pi=\frac{p}{d}.\]

Kun säde on \(r\) ja halkaisija \(d=2r\), kehän pituus ja pinta-ala ovat

\[p=2\pi r,\qquad A=\pi r^2.\]

Ympyrän yhtälö

Jos ympyrän keskipiste on \((a,b)\) ja säde \(r\), ympyrän pisteiden \((x,y)\) etäisyys keskipisteestä on \(r\). Etäisyyskaavasta saadaan ympyrän yhtälö:

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\]

Esimerkki 4

Muodosta ympyrän yhtälö, kun keskipiste on \((5,-3)\) ja säde \(4\).

\[\begin{aligned}(x-5)^2+(y-(-3))^2&=4^2,\\ (x-5)^2+(y+3)^2&=16.\end{aligned}\]