Luvut

Tässä luvussa kerrataan lukujen laskujärjestys ja lukujoukot sekä harjoitellaan vastalukuja, käänteislukuja, itseisarvoja, murtolukuja, potensseja ja juuria.

Luvun jälkeen osaat laskea lausekkeita oikeassa järjestyksessä, tunnistaa tavallisimpia lukujoukkoja sekä soveltaa murtolukujen, potenssien ja juurten laskusääntöjä.

Laskujärjestys

Yhteen- ja kertolasku ovat vaihdannaisia ja liitännäisiä:

\[a+b=b+a, \qquad ab=ba\]

\[a+(b+c)=(a+b)+c, \qquad a(bc)=(ab)c.\]

Nämä ominaisuudet sallivat termien järjestämisen uudelleen silloin, kun lauseke koostuu yhteen- tai kertolaskuista. Vähennys- ja jakolaskussa järjestystä ei voi vaihtaa vapaasti.

Etumerkit kannattaa käsitellä laskutoimituksen mukaan: samanmerkkisten lukujen tulos on positiivinen ja erimerkkisten negatiivinen. Esimerkiksi \((-3)(-4)=12\), mutta \((-3)\cdot4=-12\). Yhteenlaskussa \(-3+4=1\), kun taas \(-3-4=-7\).

Sulkeet: laske sisimmät sulkeet ensin.
Potenssit ja juuret.
Kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle.
Yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle.

Kerto- ja jakolasku ovat samalla tasolla, samoin yhteen- ja vähennyslasku. Siksi esimerkiksi \(24\div 6\cdot 2=4\cdot2=8\).

Esimerkki 1

Laske lausekkeen arvo:

\[(3+5)^2-2^3+(2-4)^2+5\cdot4-6\cdot3^2.\]

Lasketaan ensin sulkeet, sitten potenssit ja kertolaskut ja lopuksi yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle:

\[\begin{aligned}(3+5)^2-2^3+(2-4)^2+5\cdot4-6\cdot3^2 &=8^2-2^3+(-2)^2+5\cdot4-6\cdot3^2\\ &=64-8+4+20-54\\ &=26.\end{aligned}\]

Lukujoukot

Lukujoukkoja merkitään seuraavasti. Tässä materiaalissa nolla luetaan luonnollisiin lukuihin.

Luonnolliset luvut \(\mathbb{N}\): laskemiseen käytettävät luvut \(0,1,2,\ldots\).
Kokonaisluvut \(\mathbb{Z}\): luonnolliset luvut ja niiden vastaluvut, esimerkiksi \(-3,0,8\).
Rationaaliluvut \(\mathbb{Q}\): luvut, jotka voidaan esittää muodossa \(m/n\), missä \(m,n\in\mathbb{Z}\) ja \(n\ne0\).
Reaaliluvut \(\mathbb{R}\): rationaaliluvut ja irrationaaliluvut yhdessä.

Lukujoukot sisältyvät toisiinsa näin:

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.\]

Lukujoukot ovat sisäkkäisiä. Jokainen kokonaisluku on myös rationaaliluku, sillä \(n=n/1\).

Irrationaalilukua ei voi esittää kahden kokonaisluvun osamääränä. Sen desimaaliesitys ei pääty eikä toistu jaksollisena. Esimerkkejä ovat \(\pi\) ja Neperin luku \(e\). Pelkkä päättymätön desimaaliesitys ei tarkoita, että luku olisi irrationaalinen: esimerkiksi \(1/3=0{,}333\ldots\) on rationaalinen, sillä desimaalit toistuvat jaksollisesti.

Esimerkki 2

Luokitellaan luvut \(-1\), \(0\), \(e\) ja \(4{,}5\).

\(-1\) on kokonaisluku ja siten myös rationaalinen reaaliluku.
\(0\) on kokonaisluku, rationaaliluku ja tässä materiaalissa myös luonnollinen luku.
\(e\) on irrationaalinen reaaliluku.
\(4{,}5=45/10=9/2\), joten se on rationaaliluku.

Vastaluku, käänteisluku ja itseisarvo

Vastaluku

Luvun \(a\) vastaluku on \(-a\). Luvun ja sen vastaluvun summa on nolla:

\[a+(-a)=0.\]

Lukusuoralla vastaluvut ovat yhtä kaukana nollasta mutta sen eri puolilla. Esimerkiksi luvun \(7\) vastaluku on \(-7\), ja luvun \(0\) vastaluku on \(0\).

Käänteisluku

Nollasta poikkeavan luvun \(a\) käänteisluku on \(1/a\), sillä niiden tulo on yksi:

\[a\cdot\frac{1}{a}=1,\qquad a\ne0.\]

Nollalla ei ole käänteislukua, koska nollalla kertomalla ei voi saada tulokseksi ykköstä. Käänteisluku on samanmerkkinen kuin alkuperäinen luku. Esimerkiksi luvun \(-9\) käänteisluku on \(-1/9\), ja luvun \(1/3\) käänteisluku on \(3\).

Itseisarvo

Luvun \(a\) itseisarvo \(|a|\) tarkoittaa sen etäisyyttä nollasta. Etäisyys ei ole negatiivinen:

\[|a|=\begin{cases}a,&a\ge0,\\-a,&a<0.\end{cases}\]

Esimerkiksi \(|-4|=4\) ja \(|4|=4\). Itseisarvon sisällä oleva lauseke lasketaan ensin. Siksi \(|-2+7|=|5|=5\), mutta \(|-2|+|7|=2+7=9\).

Murtoluvuilla laskeminen

Murtoluvussa \(a/b\) osoittaja on \(a\) ja nimittäjä \(b\). Nimittäjä ei saa olla nolla.

Yhteen- ja vähennyslasku

Samannimisissä murtoluvuissa osoittajat lasketaan yhteen tai vähennetään ja nimittäjä säilyy:

\[\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.\]

Erinimiset murtoluvut lavennetaan samannimisiksi. Esimerkiksi

\[\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}.\]

Kerto- ja jakolasku

Murtolukujen kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään:

\[\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.\]

Jakolaskussa kerrotaan jakajan käänteisluvulla:

\[\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c},\qquad b,c,d\ne0.\]

Esimerkiksi \(\frac14\div\frac23=\frac14\cdot\frac32=\frac38\). Supista lopuksi, jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen tekijä.

Desimaaliluvun voi muuttaa murtoluvuksi paikkajärjestelmän avulla: esimerkiksi \(0{,}375=375/1000=3/8\). Prosentti tarkoittaa sadasosaa, joten \(18\%=18/100=0{,}18\). Muunnoksissa säilytä sama arvo, vaikka esitysmuoto vaihtuu.

Potenssit

Kun \(n\) on positiivinen kokonaisluku, \(a^n\) tarkoittaa luvun \(a\) kertomista itsellään \(n\) kertaa. Lukua \(a\) kutsutaan kantaluvuksi ja lukua \(n\) eksponentiksi:

\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ tekijää}}.\]

Sulkeet vaikuttavat siihen, mikä luku korotetaan potenssiin: \((-2)^2=4\), mutta \(-2^2=-(2^2)=-4\).

Potenssien laskusäännöt

\[\begin{aligned}a^m\cdot a^n&=a^{m+n},\\ \frac{a^m}{a^n}&=a^{m-n},&a&\ne0,\\ (ab)^n&=a^nb^n,\\ \left(\frac{a}{b}\right)^n&=\frac{a^n}{b^n},&b&\ne0,\\ (a^m)^n&=a^{mn},\\ a^0&=1,&a&\ne0,\\ a^{-n}&=\frac{1}{a^n},&a&\ne0. \end{aligned}\]

Samankantaisten potenssien kertolaskussa eksponentit lasketaan yhteen. Potenssin potenssissa eksponentit kerrotaan. Nollan nollatta potenssia \(0^0\) ei tässä määritellä.

Juuret

Neliöjuuri

Ei-negatiivisen luvun \(a\) neliöjuuri \(\sqrt{a}\) on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on \(a\). Esimerkiksi \(\sqrt{25}=5\) ja \(\sqrt{0}=0\). Reaaliluvuissa negatiivisella luvulla ei ole neliöjuurta.

\[\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad a,b\ge0,\]

\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}},\qquad a\ge0,\ b>0.\]

Neliöjuuri ei yleensä jakaudu yhteenlaskun yli: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}\). Esimerkiksi \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\), mutta \(\sqrt{25}=5\). Kun \(a,b\ge0\), yhtäsuuruus toteutuu vain, jos \(a=0\) tai \(b=0\).

Sievennä juuri erottamalla neliötekijät: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\). Samankaltaiset juuritermit voidaan yhdistää: \(2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3\), mutta \(\sqrt2+\sqrt3\) ei sievene yhdeksi juureksi.

Yleinen juuri

Luvun \(a\) \(n\):s juuri merkitään \(\sqrt[n]{a}\). Se on luku, jonka \(n\):s potenssi on \(a\). Kun \(n\) on parillinen, reaalinen juuri on määritelty vain, jos \(a\ge0\), ja merkintä tarkoittaa ei-negatiivista pääjuurta. Kun \(n\) on pariton, juuri on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, esimerkiksi \(\sqrt[3]{-8}=-2\).

Juuria voidaan merkitä myös rationaalisilla eksponenteilla:

\[a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m.\]

Kun \(n\) on parillinen, edellytetään \(a\ge0\). Negatiivisella eksponentilla lisäksi \(a\ne0\). Esimerkiksi \(8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=4\) ja \(16^{-1/2}=1/\sqrt{16}=1/4\).