Trigonometriset funktiot

Tässä luvussa laajennetaan sini ja kosini kaikille suunnatuille kulmille yksikköympyrän avulla. Lisäksi tutkitaan trigonometristen funktioiden ominaisuuksia, kuvaajien muotoa ja trigonometrisiä yhtälöitä.

Oppimistavoitteet: osaat tulkita sinin ja kosinin yksikköympyrän avulla, käyttää jaksollisuutta ja symmetriaa, lukea amplitudin ja jakson pituuden sekä ratkaista yksinkertaisia trigonometrisiä yhtälöitä.

Sini ja kosini yksikköympyrässä

Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman \(\alpha\) sini ja kosini määritellään sivujen suhteina:

\[\sin\alpha=\frac{\text{vastainen kateetti}}{\text{hypotenuusa}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{viereinen kateetti}}{\text{hypotenuusa}}.\]

Yksikköympyrä on ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde 1. Kun kulman alkukylki on positiivisella \(x\)-akselilla, kulman loppukylki leikkaa yksikköympyrän pisteessä \(P=(x,y)\). Kaikille suunnatuille kulmille määritellään

\[\cos\alpha=x,\qquad \sin\alpha=y.\]

Tämä sopii yhteen suorakulmaisen kolmion määritelmän kanssa terävillä kulmilla. Yksikköympyrän pisteen koordinaateille pätee myös

\[\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.\]

Vastapäivään kierto on positiivinen ja myötäpäivään kierto negatiivinen. Kulman loppukylki ja siten sini ja kosini toistuvat, kun kulmaan lisätään täysi kierros eli \(2\pi\) radiaania (\(360^\circ\)).

Sini- ja kosinifunktion ominaisuuksia

Sinin ja kosinin arvot ovat aina välillä \([-1,1]\):

\[-1\le\sin x\le1,\qquad -1\le\cos x\le1.\]

Kulman sijainti yksikköympyrässä kertoo funktion arvon merkin. Sini vastaa pisteen \(y\)-koordinaattia ja kosini sen \(x\)-koordinaattia. Sini on positiivinen yläpuoliskossa ja negatiivinen alapuoliskossa; kosini on positiivinen oikealla puoliskolla ja negatiivinen vasemmalla. Akselien kohdalla vastaava arvo on nolla.

Sini ja kosini ovat jaksollisia, jakson pituudella \(2\pi\):

\[\sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x.\]

Ne ovat myös peilisymmetrisiä seuraavilla tavoilla:

\[\sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x,\]

ja

\[\sin(\pi-x)=\sin x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x.\]

Huomaa: näissä kaavoissa kulmat ovat radiaaneina. Asteina vastaavat kaavat ovat esimerkiksi \(\sin(180^\circ-x)=\sin x\) ja \(\cos(180^\circ-x)=-\cos x\).

Trigonometristen funktioiden kuvaajat

Perusfunktioiden \(y=\sin x\) ja \(y=\cos x\) arvot vaihtelevat välillä \([-1,1]\), ja molempien jakson pituus on \(2\pi\). Muuttujan kertoimet muuttavat kuvaajan kokoa ja sijaintia.

Funktiossa

\[f(x)=a\sin(bx)+c\]

luku \(|a|\) on amplitudi, \(c\) siirtää keskilinjaa korkeudelle \(y=c\), ja kun \(a\ne0\) ja \(b\ne0\), jakson pituus on \(2\pi/|b|\). Arvojoukko on \([c-|a|,c+|a|]\). Samat säännöt pätevät kosinifunktioon \(a\cos(bx)+c\).

• \(\sin x+1\) siirtää sinikäyrää yhden yksikön ylöspäin.
• \(2\sin x\) kaksinkertaistaa amplitudin.
• \(\sin(2x)\) puolittaa jakson pituuden: uusi jakso on \(\pi\).

Tangenttifunktio

Tangentti määritellään sinin ja kosinin osamääränä silloin, kun nimittäjä ei ole nolla:

\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.\]

Kosini on nolla kohdissa \(x=\frac\pi2+n\pi\), joten tangentti ei ole määritelty näissä kohdissa. Sen määrittelyjoukko on

\[\mathbb{R}\setminus\left\{\frac\pi2+n\pi\mid n\in\mathbb{Z}\right\},\]

arvojoukko \(\mathbb{R}\) ja jakson pituus \(\pi\). Siis \(\tan(x+\pi)=\tan x\), kun molemmat puolet ovat määriteltyjä.

Trigonometriset yhtälöt

Yksikköympyrästä nähdään, että yhtälöllä \(\sin x=a\) ei ole reaaliratkaisua, jos \(|a|>1\). Kun \(|a|\le1\), merkitään \(\alpha=\arcsin(a)\). Kaikki ratkaisut radiaaneina ovat

\[x=\alpha+2\pi n\quad\text{tai}\quad x=\pi-\alpha+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\]

Kosinille vastaavasti, jos \(|a|\le1\) ja \(\alpha=\arccos(a)\), kaikki ratkaisut ovat

\[x=\alpha+2\pi n\quad\text{tai}\quad x=-\alpha+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\]

Jaksollisuus tarkoittaa, että yksittäinen ratkaisu tuottaa äärettömän monta ratkaisua lisäämällä täyden jakson monikertoja.

Esimerkki 1

Ratkaise \(\sin x=1\).

Yksikköympyrässä \(y\)-koordinaatti on 1 kulmassa \(x=\pi/2\). Kaikki ratkaisut saadaan lisäämällä jakson \(2\pi\) kokonaislukukerrannaisia:

\[x=\frac\pi2+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\]

Esimerkki 2

Ratkaise \(\cos(2x)=0\).

Kosini on nolla, kun sen argumentti on \(\pi/2+n\pi\). Siksi

\[2x=\frac\pi2+n\pi\quad\Longrightarrow\quad x=\frac\pi4+n\frac\pi2,\qquad n\in\mathbb{Z}.\]

Jakaminen luvulla 2 vaikuttaa myös jakson termiin: ratkaisuissa esiintyy \(n\pi/2\).