Funktiot

Tässä luvussa tutustutaan funktion käsitteeseen, ensimmäisen ja toisen asteen polynomifunktioihin sekä yhdistettyihin ja käänteisfunktioihin.

Oppimistavoitteet: osaat lukea funktion arvoja, määrittää yksinkertaisen funktion määrittelyjoukon, tulkita suoran ja paraabelin ominaisuuksia sekä muodostaa yhdistetyn funktion ja käänteisfunktion.

Funktio

Funktio joukosta \(X\) joukkoon \(Y\) on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon \(X\) alkioon täsmälleen yhden joukon \(Y\) alkion. Joukkoa \(X\) kutsutaan funktion määrittelyjoukoksi ja joukkoa \(Y\) maalijoukoksi. Funktion arvot muodostavat sen arvojoukon, joka on maalijoukon osajoukko.

Esimerkiksi merkintä \(f(x)=2x+1\) tarkoittaa, että funktio liittää lukuun \(x\) arvon \(2x+1\). Jos määrittelyjoukko on \(\mathbb{R}\), funktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Esimerkiksi

\[f(135{,}8642)=2\cdot135{,}8642+1=272{,}7284.\]

Kaikki funktiot eivät ole määriteltyjä kaikilla reaaliluvuilla. Jos \(g(x)=\frac{1}{x-2}\), nimittäjä on nolla, kun \(x=2\). Siksi funktion luonnollinen määrittelyjoukko on \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), eli kaikki reaaliluvut paitsi \(2\).

Funktion nollakohta

Funktion nollakohta on määrittelyjoukkoon kuuluva \(x\):n arvo, jolla funktion arvo on nolla:

\[f(x)=0.\]

Funktion kuvaajan nollakohdat ovat kuvaajan ja \(x\)-akselin leikkauskohtien \(x\)-koordinaatit.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Funktio \(f(x)=ax+b\), missä \(a\ne0\), on ensimmäisen asteen polynomifunktio. Sen kuvaaja on suora.

• Luku \(a\) on suoran kulmakerroin. Jos \(a>0\), suora nousee vasemmalta oikealle. Jos \(a<0\), suora laskee.
• Luku \(b\) on vakiotermi ja kertoo suoran \(y\)-akselin leikkauskohdan: kun \(x=0\), niin \(y=b\).

Kulmakerroin kertoo, kuinka paljon \(y\) muuttuu, kun \(x\) kasvaa yhdellä. Kahden suoran pisteen \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\) avulla kulmakerroin lasketaan

\[a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_1\ne x_2.\]

Mitä lähempänä kulmakerroin on nollaa, sitä loivempi suora on. Kulmakertoimen itseisarvon kasvaessa suora jyrkkenee.

Esimerkki 1

Tarkastellaan funktiota \(f(x)=-\frac13x+\frac53\). Sen kulmakerroin on \(-1/3\), joten kuvaaja on laskeva suora. Se leikkaa \(y\)-akselin korkeudella \(5/3\). Nollakohta saadaan ratkaisemalla

\[\begin{aligned}-\frac13x+\frac53&=0,\\-x+5&=0,\\x&=5.\end{aligned}\]

Suora leikkaa siis \(x\)-akselin pisteessä \((5,0)\).

Suoran piirtämiseen riittää kaksi pistettä. Esimerkin \(y=-x/3+5/3\) leikkauspisteet akseleiden kanssa ovat \((0,5/3)\) ja \((5,0)\); kulmakerroin \(-1/3\) kertoo, että \(x\):n kasvaessa kolmella \(y\) pienenee yhdellä.

Toisen asteen polynomifunktio

Funktio \(f(x)=ax^2+bx+c\), missä \(a\ne0\), on toisen asteen polynomifunktio. Sen kuvaaja on paraabeli.

• Jos \(a>0\), paraabeli aukeaa ylöspäin ja sillä on alin kohta.
• Jos \(a<0\), paraabeli aukeaa alaspäin ja sillä on ylin kohta.
• Vakio \(c\) kertoo \(y\)-akselin leikkauskohdan, koska \(f(0)=c\).

Paraabelin ääriarvokohtaa kutsutaan huipuksi. Huipun kautta kulkeva pystysuora on paraabelin symmetria-akseli. Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) symmetria-akseli on

\[x=-\frac{b}{2a}.\]

Huipun \(y\)-koordinaatti saadaan sijoittamalla tämä \(x\)-arvo funktioon. Toisen asteen funktion nollakohdat saadaan ratkaisemalla yhtälö \(ax^2+bx+c=0\); niitä voi olla nolla, yksi tai kaksi.

Esimerkki 2

Tarkastellaan funktiota \(f(x)=x^2-4x+3\). Koska \(a=1>0\), paraabeli aukeaa ylöspäin. Symmetria-akseli on

\[x=-\frac{-4}{2\cdot1}=2.\]

Huipun \(y\)-koordinaatti on \(f(2)=4-8+3=-1\), joten huippu on \((2,-1)\). Nollakohdat löytyvät tekijöihin jakamalla:

\[x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0,\]

joten \(x=1\) tai \(x=3\). Funktio leikkaa \(y\)-akselin pisteessä \((0,3)\).

Yhdistetty funktio

Funktioista \(f\) ja \(g\) muodostettu yhdistetty funktio saadaan syöttämällä ensin \(x\) funktioon \(f\) ja sen jälkeen tulos funktioon \(g\):

\[(g\circ f)(x)=g(f(x)).\]

Funktio \(f\) on sisäfunktio ja \(g\) ulkofunktio. Merkintä \(g\circ f\) luetaan “g pallo f”. Järjestys on tärkeä: yleensä \(g\circ f\ne f\circ g\). Yhdistetty funktio on määritelty vain niillä \(x\):n arvoilla, joilla sisäfunktio ja ulkofunktio ovat kumpikin määriteltyjä.

Esimerkki 3

Tunnista sisä- ja ulkofunktio.

• Jos \(h(x)=\cos(3x)\), sisäfunktio on \(f(x)=3x\) ja ulkofunktio \(g(u)=\cos u\).
• Jos \(h(x)=(x-1)^4\), sisäfunktio on \(f(x)=x-1\) ja ulkofunktio \(g(u)=u^4\).
• Jos \(h(x)=\sin^2 x=(\sin x)^2\), sisäfunktio on \(f(x)=\sin x\) ja ulkofunktio \(g(u)=u^2\).

Kirjaimen \(u\) käyttö ulkofunktiossa korostaa, että siihen sijoitetaan sisäfunktion koko arvo.

Esimerkki 4

Olkoon \(f(x)=x^2-4\) ja \(g(x)=1/x\). Muodosta yhdistetyt funktiot ja määrittelyjoukot.

\[\begin{aligned}(g\circ f)(x)&=g(f(x))=\frac{1}{x^2-4},\\ (f\circ g)(x)&=f(g(x))=\left(\frac1x\right)^2-4=\frac{1}{x^2}-4.\end{aligned}\]

Ensimmäisessä nimittäjä ei saa olla nolla: \(x^2-4\ne0\), joten \(x\ne-2,2\). Toisessa sisäfunktio \(g(x)=1/x\) vaatii \(x\ne0\); ulkofunktio \(f\) on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. Siis jälkimmäisen määrittelyjoukko on \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Käänteisfunktio

Käänteisfunktio kumoaa alkuperäisen funktion vaikutuksen. Jos funktion \(f\) käänteisfunktio on \(f^{-1}\), niin

\[f^{-1}(f(x))=x\quad\text{ja}\quad f(f^{-1}(y))=y\]

kaikilla arvoilla, joilla yhdistelmät ovat määriteltyjä. Merkintä \(f^{-1}\) tarkoittaa käänteisfunktiota, ei lukua \(1/f\).

Funktiolla on käänteisfunktio määrittelyjoukosta arvojoukkoonsa silloin, kun jokainen funktion arvo saadaan täsmälleen yhdellä lähtöarvolla. Toisin sanoen funktion on oltava yksi yhteen. Aidosti kasvavalla tai aidosti vähenevällä funktiolla tämä ehto toteutuu. Jos maalijoukoksi valitaan arvojoukko, funktio on lisäksi onto maalijoukkoonsa.

Käänteisfunktion määrittelyjoukko on alkuperäisen funktion arvojoukko, ja käänteisfunktion arvojoukko on alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

Esimerkki 5

Etsi funktion \(f(x)=2x+1\) käänteisfunktio. Asetetaan \(y=2x+1\), ratkaistaan \(x\) ja vaihdetaan muuttujien nimet:

\[y=2x+1\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y-1}{2}\quad\Longrightarrow\quad f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}.\]

Tarkistus:

\[f^{-1}(f(x))=\frac{(2x+1)-1}{2}=x,\qquad f(f^{-1}(x))=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x.\]