Integraalilaskenta

Integrointi on monessa tilanteessa derivoinnin käänteisoperaatio. Tässä luvussa etsitään integraalifunktioita ja käytetään niitä määrättyjen integraalien sekä pinta-alojen laskemiseen.

• Tunnistat tavalliset integroimissäännöt ja osaat tarkistaa vastauksen derivoimalla.
• Lasket määrättyjä integraaleja integraalifunktion avulla.
• Erotat etumerkillisen integraalin geometrisesta pinta-alasta.

Integraalifunktio

Funktio \(F\) on funktion \(f\) integraalifunktio välillä \(I\), jos

\[F'(x)=f(x)\quad\text{kaikilla }x\in I.\]

Integraalifunktio merkitään

\[\int f(x)\,dx=F(x)+C,\]

missä \(C\) on integroimisvakio. Se tarvitaan, koska vakion derivaatta on nolla: esimerkiksi \((x^2+C)'=2x\) kaikilla vakion \(C\) arvoilla. Merkintä \(dx\) kertoo, että integroidaan muuttujan \(x\) suhteen.

Integroinnin voi tarkistaa derivoimalla vastauksen. Jos derivointi palauttaa alkuperäisen integroitavan funktion, integraalifunktio on oikein.

Integroimissääntöjä

Vakiot ja summat

Vakiolle \(k\) ja funktioille \(f\) ja \(g\) pätevät

\[\int k\,dx=kx+C,\qquad \int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx,\]

\[\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.\]

Samoin erotuksen termit integroidaan erikseen.

Potenssi- ja polynomifunktiot

Kun \(r\ne-1\), potenssisääntö on

\[\int x^r\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C.\]

Eksponentti \(r=-1\) on poikkeus: \(\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C\) välillä, joka ei sisällä nollaa.

Esimerkki 1

Integroi \(4x\) ja \(5x^4+2\).

\[\int4x\,dx=4\cdot\frac{x^2}{2}+C=2x^2+C,\]

\[\int(5x^4+2)\,dx=5\cdot\frac{x^5}{5}+2x+C=x^5+2x+C.\]

Esimerkki 2

Integroi polynomi \(f(x)=x^3-2x^2+2x+1\) termi kerrallaan:

\[\int f(x)\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+x^2+x+C.\]

Yhdistetyn funktion integrointi

Ketjusäännön käänteinen idea auttaa integroimaan yhdistettyjä funktioita. Jos \(Q'=q\), niin

\[\int q(s(x))s'(x)\,dx=Q(s(x))+C.\]

Käytännössä integroitavan lausekkeen täytyy sisältää sisäfunktion derivaatta. Jos se puuttuu vakiokertoimena, voidaan kertoa ja jakaa samalla luvulla.

Esimerkki 3

Integroi \((2x+1)^2\). Sisäfunktion \(2x+1\) derivaatta on 2, joten

\[\begin{aligned}\int(2x+1)^2\,dx &=\frac12\int2(2x+1)^2\,dx\\ &=\frac12\cdot\frac{(2x+1)^3}{3}+C\\ &=\frac{(2x+1)^3}{6}+C.\end{aligned}\]

Trigonometriset funktiot

Radiaanimitalla pätevät perusintegraalit

\[\int\sin x\,dx=-\cos x+C,\qquad \int\cos x\,dx=\sin x+C.\]

Ketjusäännön käänteisellä avulla saadaan esimerkiksi

\[\int\cos(3x)\,dx=\frac13\sin(3x)+C.\]

Esimerkki 4

Määritä funktion \(a(x)=4\cos(3x)\) integraalifunktio:

\[A(x)=4\cdot\frac13\sin(3x)+C=\frac43\sin(3x)+C.\]

Eksponentti-, juuri- ja logaritmifunktiot

Eksponenttifunktion integraalit ovat

\[\int e^x\,dx=e^x+C,\qquad \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\quad(a>0,\ a\ne1).\]

Erityisesti \(\int e^{kx}\,dx=e^{kx}/k+C\), kun \(k\ne0\). Logaritmin derivointisäännön käänteinen muoto on

\[\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\quad(x\ne0),\]

ja yleisemmin

\[\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C,\]

niillä väleillä, joilla \(f(x)\ne0\).

Esimerkki 5

Integroi \(f(x)=5x^4+(x+3)^3+e^{2x}\).

\[\begin{aligned}\int f(x)\,dx &=x^5+\frac{(x+3)^4}{4}+\frac{e^{2x}}{2}+C.\end{aligned}\]

Vastaus tarkistuu derivoimalla: tulokseksi saadaan \(5x^4+(x+3)^3+e^{2x}\).

Esimerkki 6: Trigonometrinen yhdistetty funktio

Laske \(\int\frac{\sin x}{\cos^3x}\,dx\). Kirjoitetaan lauseke muodossa \(\sin x\,(\cos x)^{-3}\). Koska \((\cos x)'=-\sin x\),

\[\begin{aligned}\int\sin x\cos^{-3}x\,dx &=-\int(-\sin x)\cos^{-3}x\,dx\\ &=-\frac{(\cos x)^{-2}}{-2}+C\\ &=\frac{1}{2\cos^2x}+C.\end{aligned}\]

Määrätty integraali

Jos \(F'=f\), määrätty integraali välillä \([a,b]\) lasketaan kaavalla

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\big[F(x)\big]_a^b.\]

Määrätty integraali on luku, eikä siihen lisätä integroimisvakiota. Välivakio kumoutuisi muutenkin vähennyslaskussa. Kun funktio on jatkuva välillä, määrätty integraali on olemassa.

Väli voidaan jakaa osiin:

\[\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.\]

Esimerkki 7

Laske funktion \(g(x)=-x^2+4x\) määrätty integraali välillä \([1,3]\).

Integraalifunktio on \(G(x)=-x^3/3+2x^2\), joten

\[\begin{aligned}\int_1^3(-x^2+4x)\,dx &=\left[-\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_1^3\\ &=9-\frac53=\frac{22}{3}\approx7{,}33.\end{aligned}\]

Esimerkki 8

Laske \(\int_0^{\pi/2}(\cos x+\sin x)\,dx\).

Integraalifunktio on \(F(x)=\sin x-\cos x\), joten

\[\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}(\cos x+\sin x)\,dx &=\left[\sin x-\cos x\right]_0^{\pi/2}\\ &=(1-0)-(0-1)=2.\end{aligned}\]

Määrätty integraali ja pinta-ala

Määrätty integraali laskee funktion etumerkillisen kertymän: x-akselin yläpuolella oleva osa lasketaan positiivisena ja alapuolella oleva negatiivisena. Siksi integraalin arvo ei aina ole käyrän ja x-akselin välisen alueen geometrinen pinta-ala.

• Jos \(f(x)\ge0\) välillä \([a,b]\), pinta-ala on \(A=\int_a^b f(x)\,dx\).
• Jos \(f(x)\le0\) välillä \([a,b]\), pinta-ala on \(A=-\int_a^b f(x)\,dx\).
• Jos funktio vaihtaa merkkiä, jaa väli nollakohtien kohdalta tai laske \(A=\int_a^b|f(x)|\,dx\).

Esimerkki 9

Laske funktion \(f(x)=2\sin x\) ja x-akselin välinen kokonaispinta-ala välillä \([0,2\pi]\).

Funktio on positiivinen välillä \([0,\pi]\) ja negatiivinen välillä \([\pi,2\pi]\). Siksi pinta-ala lasketaan osissa:

\[\begin{aligned}A&=\int_0^\pi2\sin x\,dx-\int_\pi^{2\pi}2\sin x\,dx\\ &=\left[-2\cos x\right]_0^\pi-\left[-2\cos x\right]_\pi^{2\pi}\\ &=4+4=8.\end{aligned}\]

Koko välin määrätty integraali on sen sijaan \(\int_0^{2\pi}2\sin x\,dx=0\), koska positiivinen ja negatiivinen kertymä kumoavat toisensa. Pinta-ala on 8.