Todennäköisyyslaskenta ja tilastot

Tässä luvussa kuvataan aineistoja tunnuslukujen avulla, lasketaan tapahtumien todennäköisyyksiä ja tutustutaan tavallisimpiin jakaumiin. Lopuksi tarkastellaan, miten otoksesta voidaan tehdä päätelmiä koko perusjoukosta.

• Osaat kuvata aineistoa keskiarvon, mediaanin ja hajonnan avulla.
• Lasket yksinkertaisia todennäköisyyksiä ja tunnistat tavallisia jakaumia.
• Tulkkaat luottamusvälejä ja p-arvoja oikein.

Tilastolliset tunnusluvut

Tilastollinen aineisto koostuu havainnoista. Muuttuja voi olla numeerinen, kuten pituus tai virheiden lukumäärä, tai luokitteleva, kuten lempiväri. Diskreetti muuttuja saa erillisiä arvoja; jatkuva muuttuja voi saada arvoja kokonaiselta väliltä.

Keskiarvo, mediaani ja moodi

Havaintojen \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) aritmeettinen keskiarvo on

\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.\]

Mediaani on suuruusjärjestykseen asetetun aineiston keskimmäinen arvo. Jos havaintoja on parillinen määrä, mediaani on kahden keskimmäisen arvon keskiarvo. Moodi eli tyyppiarvo on aineistossa useimmin esiintyvä arvo; moodeja voi olla useita tai niitä ei välttämättä ole yksikäsitteisesti.

Keskiarvoa käytetään numeerisille havainnoille. Luokittelevissa aineistoissa, kuten lempiväreissä, mielekkäitä tunnuslukuja ovat esimerkiksi frekvenssit ja moodi.

Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi

Frekvenssi kertoo, kuinka monta kertaa arvo esiintyy. Suhteellinen frekvenssi on frekvenssin osuus kaikista havainnoista:

\[f_i=\frac{n_i}{n}.\]

Jos 20 oppilaasta 5 valitsee punaisen, punaisen suhteellinen frekvenssi on \(5/20=1/4=25\%\). Kaikkien luokkien suhteellisten frekvenssien summa on 1 eli 100 %.

Hajonta ja keskihajonta

Hajonta kuvaa havaintojen vaihtelua. Vaihteluväli ulottuu pienimmästä suurimpaan havaintoon. Perusjoukon keskihajonta mittaa havaintojen tyypillistä etäisyyttä keskiarvosta:

\[\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2},\]

missä \(N\) on perusjoukon koko ja \(\mu\) sen keskiarvo. Kun aineisto on otos ja sillä arvioidaan perusjoukon hajontaa, tavallinen otoskeskihajonta käyttää nimittäjää \(n-1\):

\[s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.\]

Nämä kaavat vastaavat eri tilanteisiin: \(N\):llä jakaminen kuvaa koko perusjoukon hajontaa, kun taas \(n-1\):llä jakaminen on yleinen otoksen perusteella tehtävä arvio.

Kvantiilit ja kvartiilit

Kvantiili jakaa jakauman osiin kertymän perusteella. \(p\)-kvantiili \(x_p\) on arvo, jonka alapuolelle jää noin \\(p\) osuus havainnoista. Kvartiilit jakavat aineiston neljään osaan: alakvartiili \(Q_1\) vastaa 25 %:n kohtaa, mediaani \(Q_2\) 50 %:n kohtaa ja yläkvartiili \(Q_3\) 75 %:n kohtaa. Pienen järjestetyn aineiston kvartiilien laskutapa voi vaihdella hieman käytetyn sopimuksen mukaan.

Todennäköisyyden laskemista

Todennäköisyys on epävarman tapahtuman matemaattinen mitta. Tapahtuman \(A\) todennäköisyyttä merkitään \(P(A)\), ja aina \(0\le P(A)\le1\). Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on 0 ja varman tapahtuman 1.

Satunnaiskokeen yksittäisiä mahdollisia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi. Tapahtuma koostuu yhdestä tai useammasta alkeistapauksesta. Tapahtuman \(A\) vastatapahtuma, merkitään \(A^c\), tarkoittaa, ettei \(A\) tapahdu:

\[P(A^c)=1-P(A).\]

Klassinen ja tilastollinen todennäköisyys

Klassista todennäköisyyttä käytetään, kun mahdollisia alkeistapauksia on äärellinen määrä ja ne ovat yhtä todennäköisiä:

\[P(A)=\frac{\text{tapahtumalle suotuisten alkeistapausten määrä}}{\text{kaikkien alkeistapausten määrä}}.\]

Reilulla kuusisivuisella nopalla silmäluvun 5 tai 6 saamisen todennäköisyys on \(2/6=1/3\). Jos yhtä todennäköisyyttä ei voida olettaa, todennäköisyyttä voidaan arvioida toistamalla koetta. Tapahtuman suhteellinen frekvenssi lähestyy tavallisesti sen todennäköisyyttä kokeiden määrän kasvaessa, mutta yksittäinen äärellinen koesarja voi poiketa siitä.

Yhteenlaskusääntö

Tapahtumien \(A\) tai \(B\) toteutumiselle pätee

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\]

Leikkaus \(A\cap B\) tarkoittaa, että molemmat tapahtumat toteutuvat. Jos tapahtumat eivät voi toteutua yhtä aikaa, ne ovat erilliset ja \(P(A\cap B)=0\), jolloin

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B).\]

Riippumattomuus ja kertolaskusääntö

Tapahtumat ovat riippumattomia, jos toisen tapahtuminen ei muuta toisen todennäköisyyttä. Tällöin

\[P(A\cap B)=P(A)P(B).\]

Riippuville tapahtumille käytetään ehdollista todennäköisyyttä:

\[P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A),\]

missä \(P(B\mid A)\) on tapahtuman \(B\) todennäköisyys sillä ehdolla, että \(A\) on tapahtunut.

Kombinatoriikka

Kombinatoriikan avulla lasketaan, kuinka monta erilaista järjestystä tai valintaa on mahdollista tehdä. Ratkaisevaa on kysyä, vaikuttaako järjestys lopputulokseen ja voiko sama alkio tulla valituksi uudelleen.

Tuloperiaate ja kertoma

Jos ensimmäiseen valintaan on \(m\) vaihtoehtoa ja jokaiseen niistä liittyy \(n\) vaihtoehtoa toisessa valinnassa, yhdistelmiä on \(mn\). Positiivisen kokonaisluvun \(n\) kertoma on

\[n!=n\(n-1\)(n-2)\cdots2\cdot1,\qquad 0!=1.\]

Permutaatiot ja kombinaatiot

Kun järjestetään kaikki \(n\) eri alkiota, järjestyksiä eli permutaatioita on \(n!\). Kun valitaan \(k\) alkiota \(n\):stä ja järjestyksellä on merkitystä, vaihtoehtoja on

\[P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.\]

Jos järjestyksellä ei ole merkitystä, valintojen eli kombinaatioiden määrä on

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Esimerkiksi kolmen henkilön valitsemiseen kymmenestä ilman järjestystä on \(\binom{10}{3}=120\) tapaa.

Toistokoe ja binomijakauma

Toistokokeessa samaa koetta tehdään useita kertoja. Binomijakauma sopii onnistumisten lukumäärän mallintamiseen, kun kokeiden määrä \(n\) on kiinteä, kokeet ovat riippumattomia ja onnistumisen todennäköisyys \(p\) pysyy samana jokaisessa kokeessa.

Jos \(X\) on onnistumisten määrä, niin \(X\sim\operatorname{Bin}(n,p)\), ja täsmälleen \(k\) onnistumisen todennäköisyys on

\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\ldots,n.\]

Jakauman odotusarvo, varianssi ja keskihajonta ovat

\[E(X)=np,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p),\qquad \sigma_X=\sqrt{np(1-p)}.\]

Esimerkki

Tuotteen vialliseksi joutumisen todennäköisyys on 0,05. Kun tarkastetaan 20 toisistaan riippumatonta tuotetta, täsmälleen kolmen viallisen todennäköisyys on

\[P(X=3)=\binom{20}{3}(0{,}05)^3(0{,}95)^{17}\approx0{,}0596.\]

Todennäköisyys on siis noin 5,96 %. Mallin käyttö edellyttää, että jokaisella tuotteella on sama vikariski ja viat ovat riippumattomia.

Poisson-jakauma

Poisson-jakauma mallintaa tapahtumien lukumäärää tietyllä aikavälillä tai alueella, kun tapahtumia syntyy keskimäärin tasaisella nopeudella ja erilliset tapahtumat ovat sopivassa mielessä riippumattomia. Parametri \(\lambda>0\) on odotettu tapahtumamäärä kyseisellä välillä:

\[P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots.\]

Poisson-jakaumassa \(E(X)=\lambda\), \(\operatorname{Var}(X)=\lambda\) ja keskihajonta on \(\sqrt{\lambda}\).

Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

Jatkuvaa satunnaismuuttujaa kuvataan tiheysfunktiolla \(f(x)\ge0\), jonka kokonaisintegraali on 1. Todennäköisyys osua välille \([a,b]\) saadaan pinta-alana tiheyskäyrän alta:

\[P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx.\]

Yksittäisen pisteen todennäköisyys on jatkuvassa jakaumassa nolla, joten välin päätepisteiden mukaan ottaminen ei muuta välin todennäköisyyttä. Kertymäfunktio \(F(x)=P(X\le x)\) antaa todennäköisyyden, että \(X\) on enintään \(x\).

Normaalijakauma on symmetrinen, kellomainen jakauma, jota merkitään \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\). Sen keskiarvo on \(\mu\), varianssi \(\sigma^2\) ja keskihajonta \(\sigma\). Muuttuja standardoidaan standardinormaalijakauman muuttujaksi kaavalla

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.\]

Standardointi kertoo, kuinka monen keskihajonnan päässä havainto on keskiarvosta. Standardinormaalijakaumataulukon tai laskimen avulla voidaan tämän jälkeen etsiä todennäköisyyksiä.

Jatkuvan muuttujan odotusarvo lasketaan tiheyden avulla integroimalla koko muuttujan arvoalueella \(S\):

\[E(X)=\int_S x f(x)\,dx.\]

Varianssi mittaa etäisyyksien neliöiden keskimäärää odotusarvosta:

\[\operatorname{Var}(X)=E\big((X-E(X))^2\big)=\int_S(x-E(X))^2f(x)\,dx,\qquad \sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.\]

Tilastollinen päättely

Perusjoukko on se kokonaisuus, josta halutaan tietoa. Otos on siitä kerätty havaintojen joukko. Otoksen avulla voidaan arvioida esimerkiksi perusjoukon keskiarvoa, mutta arvioon liittyy otantavaihtelua.

Luottamusväli

Luottamusväli muodostetaan menetelmällä, joka tuottaa toistuvissa samanlaisissa otannoissa esimerkiksi 95 %:n tapauksista välin, joka sisältää tuntemattoman parametrin. Kun yksi väli on jo laskettu, parametri on kiinteä; 95 % kuvaa menetelmän pitkän aikavälin kattavuutta, ei todennäköisyyttä sille, että parametri muuttuu tai kuuluu juuri tähän väliin.

Hypoteesitesti ja p-arvo

Hypoteesitestissä asetetaan nollahypoteesi \(H_0\) ja vaihtoehtoinen hypoteesi \(H_1\). Merkitsevyystaso \(\alpha\) valitaan ennen tulosten tarkastelua, ja se kuvaa sallittua tyypin I virheen riskiä: todennäköisyyttä hylätä tosi nollahypoteesi.

p-arvo on nollahypoteesin voimassa ollessa todennäköisyys saada havaittu tulos tai sitä voimakkaammin \(H_0\):ta vastaan puhuva tulos. Se ei ole todennäköisyys sille, että nollahypoteesi on tosi. Jos p-arvo on pienempi kuin \(\alpha\), tulos on valitulla tasolla tilastollisesti merkitsevä ja \(H_0\) hylätään. Muussa tapauksessa \(H_0\):aa ei hylätä; tämä ei yksin todista sitä oikeaksi.