Raja-arvot ja derivaatta

Tässä luvussa tutkitaan funktion raja-arvoja ja jatkuvuutta sekä määritellään derivaatta funktion hetkellisenä muutosnopeutena. Derivaatan avulla voidaan tutkia funktion kasvamista, vähenemistä ja ääriarvoja.

Oppimistavoitteet: osaat erottaa funktion arvon ja raja-arvon, tutkia jatkuvuutta, laskea derivaattoja tavallisimmilla säännöillä ja käyttää derivaattaa funktion kulun sekä ääriarvojen tutkimiseen.

Raja-arvo ja jatkuvuus

Funktion raja-arvo

Raja-arvo kuvaa sitä, mitä arvoa funktio lähestyy, kun muuttuja lähestyy tiettyä lukua. Jos \(f(x)\) lähestyy lukua \(L\), kun \(x\) lähestyy lukua \(a\), merkitään

\[\lim_{x\to a}f(x)=L.\]

Raja-arvo kertoo funktion käyttäytymisestä pisteen lähellä; funktion ei tarvitse olla määritelty itse pisteessä \(a\).

Toispuoleiset raja-arvot

Pistettä voidaan lähestyä oikealta tai vasemmalta:

\[\lim_{x\to a^+}f(x)\quad\text{ja}\quad\lim_{x\to a^-}f(x).\]

Kaksipuolinen raja-arvo \(\lim_{x\to a}f(x)\) on olemassa täsmälleen silloin, kun molemmat toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja yhtä suuret.

Esimerkki 1

Tarkastellaan funktiota

\[f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x<1,\\x+2,&x\ge1.\end{cases}\]

Kun \(x\) lähestyy ykköstä vasemmalta, käytetään ensimmäistä sääntöä; oikealta lähestyttäessä käytetään toista:

\[\lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+1=2,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=1+2=3.\]

Toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuruiset, joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa \(x=1\).

Raja-arvon laskusääntöjä

Summa, erotus ja tulo voidaan laskea raja-arvojen avulla. Osamäärälle pätee

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)},\]

kun nimittäjän raja-arvo on nollasta poikkeava. Jos sekä osoittajan että nimittäjän raja-arvo on nolla, tulos on epämääräinen muoto \(0/0\): lauseketta voi yrittää sieventää, eikä raja-arvoa voi päätellä suoraan osamääräsäännöstä.

Esimerkki 2

Laske raja-arvo \(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\).

Kun \(x\ne1\), voidaan osoittaja jakaa tekijöihin ja supistaa:

\[\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.\]

Siten \(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\), vaikka alkuperäinen lauseke ei ole määritelty kohdassa \(x=1\).

Jatkuvuus

Funktio \(f\) on jatkuva kohdassa \(a\), kun kaikki seuraavat ehdot toteutuvat:

1. \(f(a)\) on määritelty.
2. \(\lim_{x\to a}f(x)\) on olemassa.
3. \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).

Polynomifunktiot ovat jatkuvia kaikkialla, ja rationaalifunktiot ovat jatkuvia siellä, missä nimittäjä ei ole nolla. Jatkuvien funktioiden summa, tulo ja yhdistetty funktio ovat jatkuvia (ja osamäärä siellä, missä nimittäjä ei ole nolla).

Bolzanon lause: Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä \([a,b]\) ja päätepisteissä sen arvot ovat erimerkkiset, funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä \((a,b)\).

Yhdistetty funktio

Jos funktion sisällä muuttujan paikalla on toinen funktio, muodostuu yhdistetty funktio. Merkintä

\[(f\circ g)(x)=f(g(x))\]

tarkoittaa, että ensin lasketaan sisäfunktion \(g\) arvo ja tulos sijoitetaan ulkofunktioon \(f\). Yhdistetty funktio on määritelty niillä \(x\):n arvoilla, jotka kuuluvat \(g\):n määrittelyjoukkoon ja joilla \(g(x)\) kuuluu \(f\):n määrittelyjoukkoon.

Esimerkiksi \(\sin(3x)\):n sisäfunktio on \(g(x)=3x\) ja ulkofunktio \(f(u)=\sin u\). Vastaavasti \((x-2)^2\):ssa sisäfunktio on \(x-2\) ja ulkofunktio neliöinti.

Esimerkki 3

Kun \(f(x)=x^2+x\) ja \(g(x)=\cos x\), niin

\[(f\circ g)(x)=f(g(x))=(\cos x)^2+\cos x=\cos^2x+\cos x.\]

Derivaatta

Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä muutosnopeutta. Geometrisesti \(f'(a)\) on funktion kuvaajalle kohtaan \((a,f(a))\) piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaattafunktiota merkitään \(f'(x)\); samaa tarkoittaa merkintä \(D(f(x))\).

Erotusosamäärä ja derivaatan määritelmä

Pisteiden \(a\) ja \(a+h\) kautta kulkevan sekantin kulmakerroin on erotusosamäärä

\[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]

Kun \(h\) lähestyy nollaa, sekantti lähestyy tangenttia. Funktion derivaatta kohdassa \(a\) määritellään raja-arvona

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

jos raja-arvo on olemassa.

Esimerkki 4

Määritä funktion \(f(x)=x^2+1\) derivaatta kohdassa \(x=2\) määritelmän avulla.

\[\begin{aligned}f'(2)&=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2+1-5}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{4h+h^2}{h}\\ &=\lim_{h\to0}(4+h)=4.\end{aligned}\]

Vakiofunktion \(f(x)=c\) derivaatta on nolla, koska sen arvo ei muutu: \(f'(x)=0\).

Derivaatan laskusäännöt

Potenssifunktion derivointisääntö on

\[\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}.\]

Sääntöä voidaan soveltaa polynomin jokaiseen termiin erikseen. Lisäksi vakiokerroin voidaan ottaa derivaatan ulkopuolelle, ja summan derivaatta on termien derivaattojen summa:

\[\frac{d}{dx}(cf)=cf',\qquad (f+g)'=f'+g'.\]

Tulon derivointisääntö:

\[(fg)'=f'g+fg'.\]

Osamäärän derivointisääntö, kun \(g(x)\ne0\):

\[\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.\]

Ketjusäännön mukaan yhdistetyn funktion derivaatta on ulkofunktion derivaatta sisäfunktion kohdassa kerrottuna sisäfunktion derivaatalla:

\[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).\]

Esimerkki 5: Polynomin derivointi

Derivoi \(g(x)=x^4+5x^3-3x^2+4\).

\[g'(x)=4x^3+15x^2-6x.\]

Vakiotermin derivaatta on nolla, ja jokainen potenssitermi derivoidaan erikseen.

Trigonometriset funktiot

Kun kulmat ovat radiaaneina, sinin ja kosinin derivaatat ovat

\[(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.\]

Esimerkiksi

\[(3\sin x+2\cos x)'=3\cos x-2\sin x.\]

Ketjusäännöllä saadaan \((\cos(2x))'=-2\sin(2x)\). Potenssisäännön ja ketjusäännön avulla \((\sin^2x)'=2\sin x\cos x\).

Juuri- ja murtopotenssifunktiot

Potenssisääntö pätee myös murtopotensseille funktion määrittelyjoukossa ja niissä pisteissä, joissa funktio on derivoituva:

\[\frac{d}{dx}x^r=rx^{r-1}.\]

Esimerkiksi \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), joten kun \(x>0\),

\[(\sqrt{x})'=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

Samoin, kun \(x\ne0\),

\[\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right)'=(x^{-2/3})'=-\frac23x^{-5/3}.\]

Funktion kulku ja ääriarvot

Funktio on aidosti kasvava välillä, jos \(x_1<x_2\) merkitsee aina \(f(x_1)<f(x_2)\). Aidosti vähenevällä funktiolla vastaavasti \(f(x_1)>f(x_2)\). Jos derivaatta on positiivinen välillä, funktio kasvaa siellä; jos derivaatta on negatiivinen, funktio vähenee. Yksittäiset derivaatan nollakohdat eivät yksin estä monotonisuutta.

Paikallisessa maksimi- tai minimikohdassa funktio saa lähiarvojaan suuremman tai pienemmän arvon. Ääriarvoehdokkaat etsitään kohdista, joissa \(f'(x)=0\) tai derivaattaa ei ole olemassa. Suljetulla välillä myös päätepisteet täytyy tarkistaa.

Esimerkki 6

Etsi funktion \(f(x)=-3x^3+x+1\) suurin ja pienin arvo välillä \([0,2]\).

Derivaatta ja sen nollakohdat ovat

\[f'(x)=-9x^2+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac13.\]

Välillä \([0,2]\) tarkastellaan pistettä \(x=1/3\) ja päätepisteitä \(0\) ja \(2\). Derivaatta vaihtuu positiivisesta negatiiviseksi kohdassa \(1/3\), joten siinä on maksimi. Funktioarvot ovat

\[f\left(\frac13\right)=\frac{11}{9},\qquad f(0)=1,\qquad f(2)=-21.\]

Suurin arvo on \(11/9\) kohdassa \(x=1/3\), ja pienin arvo on \(-21\) kohdassa \(x=2\).