Yhtälöt ja epäyhtälöt

Tässä luvussa kerrataan ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen sekä tutustutaan epäyhtälöihin, tulon nollasääntöön ja itseisarvoyhtälöihin.

Oppimistavoitteet: osaat ratkaista ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöitä, esittää epäyhtälön ratkaisujoukon välinä, käyttää tulon nollasääntöä ja ratkaista itseisarvoyhtälöitä.

Yhtälöt

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa \(ax+b=0\), missä \(a\ne0\). Sen ratkaisut ovat niitä \(x\):n arvoja, joilla vastaava polynomifunktio \(f(x)=ax+b\) saa arvon nolla.

Yhtälön ratkaisut säilyvät, kun yhtälön molemmille puolille lisätään tai niiltä vähennetään sama lauseke tai kun molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla. Muuttujia sisältävillä lausekkeilla kerrottaessa tai jaettaessa on huomioitava myös tapaukset, joissa lauseke voi olla nolla.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö \(-\frac23x+\frac83=0\).

\[\begin{aligned}-\frac23x+\frac83&=0,\\ -2x+8&=0 &&\text{(kerrotaan puolittain luvulla 3)},\\ -2x&=-8,\\ x&=4.\end{aligned}\]

Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälö on muotoa \(ax^2+bx+c=0\), missä \(a\ne0\). Yksinkertaisimmissa tapauksissa yhtälö ratkaistaan ottamalla neliöjuuri tai jakamalla polynomi tekijöihin. Yleinen ratkaisukaava on

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\]

Diskriminantti \(D=b^2-4ac\) kertoo reaaliratkaisujen lukumäärän:

• Jos \(D>0\), yhtälöllä on kaksi eri reaaliratkaisua.
• Jos \(D=0\), yhtälöllä on yksi reaaliratkaisu (kaksoisjuuri).
• Jos \(D<0\), yhtälöllä ei ole reaaliratkaisuja.

Esimerkki 2: Neliöjuurella ratkaiseminen

Ratkaise \(3x^2-21=0\).

\[3x^2=21\quad\Longrightarrow\quad x^2=7\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt7.\]

Muista molemmat ratkaisut: sekä \(\sqrt7\) että \(-\sqrt7\) toteuttavat yhtälön.

Esimerkki 3: Ratkaisukaava

Ratkaise yhtälö \(x(2x-3)-3x(1-x)=-1\). Avataan sulkeet ja järjestetään yhtälö perusmuotoon:

\[\begin{aligned}x(2x-3)-3x(1-x)&=-1,\\ 2x^2-3x-3x+3x^2&=-1,\\ 5x^2-6x+1&=0.\end{aligned}\]

Ratkaisukaavassa \(a=5\), \(b=-6\) ja \(c=1\):

\[x=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{10}=\frac{6\pm4}{10},\]

joten ratkaisut ovat \(x=1\) ja \(x=\frac15\).

Epäyhtälöt

Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Epäyhtälöä muokataan kuten yhtälöä, mutta kertominen tai jakaminen negatiivisella luvulla vaihtaa epäyhtälömerkin suunnan. Esimerkiksi \(2<5\), mutta kertomalla molemmat puolet luvulla \(-1\) saadaan \(-2>-5\).

Esimerkki 4

Ratkaise epäyhtälö \(x+5<6-x\).

\[\begin{aligned}x+5&\lt6-x,\\ 2x+5&\lt6,\\ 2x&\lt1,\\ x&\lt\frac12.\end{aligned}\]

Ratkaisujoukko on siis \((-\infty,\frac12)\).

Epäyhtälöllä ei aina ole ratkaisuja, tai se voi olla tosi kaikilla reaaliluvuilla. Esimerkiksi

\[x-3(x+1)>2(1-x)\quad\Longleftrightarrow\quad-3>2,\]

mikä on mahdotonta, joten ratkaisujoukko on tyhjä. Toisaalta \(-x+3\ge1-x\) sievenee aina todeksi olevaan väitteeseen \(3\ge1\), joten sen ratkaisujoukko on \(\mathbb{R}\).

Toisen asteen epäyhtälö

Siirrä ensin kaikki termit samalle puolelle niin, että toiselle puolelle jää nolla. Etsi sitten vastaavan polynomifunktion nollakohdat ja tutki, millä väleillä polynomi on positiivinen tai negatiivinen. Nollakohdat kuuluvat ratkaisuun, kun epäyhtälössä on merkki \(\le\) tai \(\ge\).

Esimerkki 5

Ratkaise epäyhtälö \((2x-1)^2-9\ge(x-2)(x+2)\).

Avataan sulkeet ja siirretään kaikki vasemmalle:

\[\begin{aligned}(2x-1)^2-9&\ge(x-2)(x+2),\\ 4x^2-4x+1-9&\ge x^2-4,\\ 3x^2-4x-4&\ge0.\end{aligned}\]

Vastaavan yhtälön nollakohdat ovat

\[x=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{6}=\frac{4\pm8}{6},\]

eli \(x=-\frac23\) ja \(x=2\). Koska paraabeli aukeaa ylöspäin, lauseke on epänegatiivinen nollakohtien ulkopuolella. Ratkaisu on

\[x\le-\frac23\quad\text{tai}\quad x\ge2.\]

Tulon nollasääntö

Reaalilukujen tulo on nolla täsmälleen silloin, kun ainakin yksi tekijöistä on nolla:

\[xy=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\ \text{tai}\ y=0.\]

Sääntöä voi käyttää vasta, kun yhtälön toinen puoli on nolla ja toinen puoli on kirjoitettu tulomuotoon.

Esimerkki 6

Ratkaise yhtälö \((x-2)(3x-4)=0\).

\[x-2=0\quad\text{tai}\quad3x-4=0,\]

joten \(x=2\) tai \(x=\frac43\).

Esimerkiksi vaillinainen toisen asteen yhtälö \(x^2-3x=0\) voidaan jakaa tekijöihin: \(x(x-3)=0\). Tulon nollasääntö antaa ratkaisut \(x=0\) ja \(x=3\).

Itseisarvoyhtälö

Itseisarvo \(|a|\) on luvun \(a\) etäisyys nollasta. Vastaavasti lukujen \(a\) ja \(b\) välinen etäisyys lukusuoralla on \(|a-b|\).

Yhtälö \(|u|=r\), missä \(r>0\), tarkoittaa, että \(u=r\) tai \(u=-r\). Jos \(r=0\), ratkaisu on \(u=0\); jos \(r<0\), ratkaisuja ei ole.

Esimerkki 7

Ratkaise \(|x-8|=3\). Luku \(x\) on etäisyydellä 3 luvusta 8, joten

\[x-8=3\quad\text{tai}\quad x-8=-3,\]

josta saadaan \(x=11\) tai \(x=5\).

Esimerkki 8

Ratkaise \(|2x-3|=4\) muodostamalla kaksi yhtälöä:

\[\begin{aligned}2x-3&=4 &&\Longrightarrow&\quad x=\frac72,\\ 2x-3&=-4 &&\Longrightarrow&\quad x=-\frac12.\end{aligned}\]

Ratkaisut ovat \(x=\frac72\) ja \(x=-\frac12\). Tarkistus sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön antaa itseisarvon sisällöiksi 4 ja −4, joiden itseisarvo on 4.

Esimerkki 9

Ratkaise \(|x-3|=|x+5|\). Molemmat puolet ovat etäisyyksiä, joten etsitään piste, joka on yhtä kaukana luvuista 3 ja −5. Vaihtoehtoisesti neliöimällä molemmat puolet:

\[\begin{aligned}(x-3)^2&=(x+5)^2,\\ x^2-6x+9&=x^2+10x+25,\\ -16x&=16,\\ x&=-1.\end{aligned}\]

Tarkistus: \(|-1-3|=4\) ja \(|-1+5|=4\), joten ratkaisu on oikein.