Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Tässä luvussa tutustutaan eksponentiaaliseen kasvuun ja vähenemiseen, logaritmin määritelmään ja laskusääntöihin sekä eksponenttiyhtälöiden ratkaisemiseen.

Oppimistavoitteet: osaat selittää eksponentti- ja logaritmifunktion yhteyden, määrittää niiden määrittely- ja arvojoukkoja, soveltaa logaritmien laskusääntöjä ja ratkaista eksponenttiyhtälöitä.

Eksponenttifunktio

Eksponenttifunktio on muotoa

\[f(x)=k^x,\qquad k>0,\quad k\ne1.\]

Lukua \(k\) kutsutaan kantaluvuksi. Eksponenttifunktion määrittelyjoukko on \(\mathbb{R}\) ja arvojoukko \((0,\infty)\): funktion arvot ovat aina positiivisia.

• Kun \(k>1\), funktio on aidosti kasvava.
• Kun \(0<k<1\), funktio on aidosti vähenevä.

Eksponentiaalinen kasvu tai väheneminen tarkoittaa, että määrä kerrotaan samalla kertoimella yhtä pitkissä aikaväleissä.

Esimerkki 1: Radioaktiivinen hajoaminen

Cesium-137:n puoliintumisaika on noin 30 vuotta. Puoliintumisajan jälkeen jäljellä on puolet alkuperäisestä määrästä. Jos alkuhetkellä määrä on 1 ja \(t\) ilmaisee kuluneita vuosia, suhteellista määrää kuvaa

\[f(t)=0{,}5^{t/30}.\]

Kun \(t=30\), saadaan \(f(30)=0{,}5\). Kuudessakymmenessä vuodessa puoliintuminen tapahtuu kahdesti:

\[f(60)=0{,}5^{60/30}=0{,}5^2=0{,}25.\]

Siis jäljellä on 25 %. Vuodesta 1986 vuoteen 2025 kului 39 vuotta, joten

\[f(39)=0{,}5^{39/30}\approx0{,}406,\]

eli jäljellä oli noin 41 % alkuperäisestä määrästä kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Esimerkki 2: Kasvava ja vähenevä eksponenttifunktio

Millä vakion \(c\) arvoilla funktio \(f(x)=(2c-3)^x\) on kasvava tai vähenevä eksponenttifunktio?

Eksponenttifunktion kantaluvun täytyy olla positiivinen eikä se saa olla yksi. Funktio on kasvava, kun \(2c-3>1\), eli

\[c>2.\]

Se on vähenevä, kun \(0<2c-3<1\), eli

\[\frac32<c<2.\]

Logaritmin määritelmä

Logaritmi vastaa kysymykseen: mihin potenssiin kantaluku on korotettava, jotta saadaan annettu luku? Kun \(k>0\), \(k\ne1\) ja \(a>0\), määritellään

\[\log_k(a)=b\quad\Longleftrightarrow\quad k^b=a.\]

Esimerkiksi \(\log_2(8)=3\), koska \(2^3=8\). Logaritmin sisällä olevan luvun täytyy olla positiivinen.

Logaritmifunktion \(f(x)=\log_k(x)\) määrittelyjoukko on \((0,\infty)\) ja arvojoukko \(\mathbb{R}\). Kun \(k>1\), logaritmifunktio on kasvava; kun \(0<k<1\), se on vähenevä.

Erityisiä logaritmeja

• Kymmenkantainen logaritmi: \(\lg(x)=\log_{10}(x)\).
• Kaksikantainen logaritmi: \(\operatorname{lb}(x)=\log_2(x)\).
• Luonnollinen logaritmi: \(\ln(x)=\log_e(x)\), missä \(e\) on Neperin luku.

Esimerkki 3: Määrittelyjoukko

Logaritmifunktio on määritelty, kun logaritmin sisällä oleva lauseke on positiivinen.

• \(f(x)=\log_2(x-1)\): vaaditaan \(x-1>0\), joten \(x>1\).
• \(f(x)=\log_{10}(4-x^2)\): vaaditaan \(4-x^2>0\), joten \(-2<x<2\).
• \(f(x)=\ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\): vaaditaan \(\frac{x}{x+1}>0\), joten \(x<-1\) tai \(x>0\). Lisäksi nimittäjä ei saa olla nolla.

Logaritmin laskusäännöt

Kun \(k>0\), \(k\ne1\), ja \(a,b>0\), sekä \(s\in\mathbb{R}\), pätevät seuraavat säännöt:

Potenssi:

\[\log_k(a^s)=s\log_k(a).\]

Tulo:

\[\log_k(ab)=\log_k(a)+\log_k(b).\]

Osamäärä:

\[\log_k\left(\frac{a}{b}\right)=\log_k(a)-\log_k(b).\]

Logaritmi ei jakaudu summan yli: yleensä \(\log_k(a+b)\ne\log_k(a)+\log_k(b)\).

Esimerkki 4: Tarkat arvot

Sievennä laskusääntöjä käyttäen:

a) \(\log_3(12)+\log_3(15)-\log_3(20)\)

\[\log_3\left(\frac{12\cdot15}{20}\right)=\log_3(9)=2.\]

b) \(\lg(17)-\lg(170)\)

\[\lg\left(\frac{17}{170}\right)=\lg(0{,}1)=-1.\]

c) \(\ln(3)-\ln(12)+\ln(4)\)

\[\ln\left(\frac{3\cdot4}{12}\right)=\ln(1)=0.\]

Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen

Jos yhtälön tuntematon on eksponentissa, logaritmin avulla se voidaan siirtää kertoimeksi. Otetaan yhtälön molemmilta puolilta logaritmi. Potenssin logaritmisäännöllä eksponentti saadaan eteen.

Esimerkki 5

Ratkaise yhtälö \(4^x=9\) tarkasti ja kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

Otetaan puolittain luonnollinen logaritmi:

\[\begin{aligned}4^x&=9,\\ \ln(4^x)&=\ln(9),\\ x\ln(4)&=\ln(9),\\ x&=\frac{\ln(9)}{\ln(4)}\approx1{,}58.\end{aligned}\]

Sama menetelmä toimii myös kymmenkantaisella logaritmilla. Tärkeintä on käyttää yhtälön molemmilla puolilla samaa logaritmin kantaa.

Kantaluvun vaihto

Logaritmin kantaluku voidaan vaihtaa toiseen kantalukuun \(p>0\), \(p\ne1\):

\[\log_k(x)=\frac{\log_p(x)}{\log_p(k)},\qquad x>0.\]

Esimerkiksi laskimella voidaan laskea \(\log_2(7)=\frac{\ln(7)}{\ln(2)}\).

Logaritmiyhtälön ratkaiseminen

Jos logaritmi on yksin toisella puolella, määritelmä muuttaa yhtälön potenssimuotoon. Ratkaisun on lisäksi toteutettava alkuperäisen logaritmin määrittelyehto.

Esimerkki 6

Ratkaise \(\log_3(x-1)=2\).

Argumentin ehto on \(x-1>0\), eli \(x>1\). Määritelmän perusteella

\[\log_3(x-1)=2\quad\Longleftrightarrow\quad x-1=3^2=9\quad\Longrightarrow\quad x=10.\]

Ratkaisu \(x=10\) täyttää ehdon \(x>1\), joten se kelpaa.